Ein PT1 Glied kann als Filter mit einer definierten Grenzfrequenz eingesetzt werden. Das Filter weist bei der Grenzfrequenz „f“ eine Dämpfung von 3dB auf.

Übertragungsfunktion in s-Ebene (zeitkontinuierlich):

G(s) = K \cdot \frac{1}{T_d s + 1}

„Td“ ist die Zeitkonstante des Übertragungsglieds. Für diese kann eine Frequenz eingesetzt werden, bei der die Grenzfrequenz liegen soll:

T_d = \frac{1}{2 \pi \cdot f}
G(s) = K \cdot \frac{1}{(\frac{1}{2\pi \cdot f})s+1}

Polstelle der Übertragungsfunktion (gefunden durch =0 setzten des Zählers):
s_p=-\frac{1}{T_d}

Übertragungsfunktion in z-Ebene (zeitdiskreten):

„T“ steht ab hier für die SampleTime, also die Zeit zwischen zwei Abtastwerten.
z=e^{s_p \cdot T}
z=e^{- \frac{1}{T_d} \cdot T}

G(z) = K \cdot \frac{1}{z-e^{- \frac{1}{T_d} \cdot T}}

Verstärkung für Gleichanteil soll 1 sein ⇒ G(z=1)=1 bzw. G(s=0)=1
1 = K \cdot \frac{1}{1-e^{-\frac{1}{T_d} \cdot T}}

1 - e^{-\frac{1}{T_d} \cdot T} = K \cdot 1

⇒ K = 1 - e^{-\frac{1}{T_d} \cdot T}

G(z) = \left( 1 - e^{-\frac{1}{T_d} \cdot T} \right) \cdot \frac{1}{z-e^{-\frac{1}{T_d} \cdot T}}

Umschreiben in Gleichung, die aus Verzögerungen besteht:

Es gilt der Zusammenhang
G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b_3 \cdot z^3 + b_2 \cdot z^2 + b_1 \cdot z + b_0}{a_3 \cdot z^3 + a_2 \cdot z^2 + a_1 \cdot z + a_0}

a_3 \cdot y(k+3) + a_2 \cdot y(k+2) + a_1 \cdot y(k+1) + a_0 \cdot y(k) = \\ b_3 \cdot u(k+3) + b_2 \cdot u(k+2) + b_1 \cdot u(k+1) + b_0 \cdot u(k)

https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation#z-.C3.9Cbertragungsfunktion_.28Impuls.C3.BCbertragungsfunktion.29_von_zeitdiskreten_Elementen

Zur besseren Lesbarkeit wird definiert
n = e^{-\frac{1}{T_d} \cdot T}
G(z) = \left( 1 - n \right) \cdot \frac{1}{z-n}
G(z) = \frac{1 - n}{z-n}.
Nach der vorherigen Gleichung ist
b_0 = 1-n \quad / \quad a_0 = -n \quad / \quad a_1 = 1
Damit kann aufgestellt werden
y(k+1) - n \cdot y(k) = \left(1-n\right) \cdot u(k)
y(k) - n \cdot y(k-1) = \left(1-n\right) \cdot u(k-1)
y(k) = n \cdot y(k-1) + \left(1-n\right) \cdot u(k-1)

Gleichung, die in einem Programm implementiert werden kann:
y(k) = e^{-\frac{1}{T_d} \cdot T} \cdot y(k-1) + \left( 1-e^{-\frac{1}{T_d} \cdot T} \right) \cdot u(k)

y(k) = e^{-2 \pi f \cdot T} \cdot y(k-1) + \left( 1-e^{-2 \pi f \cdot T} \right) \cdot u(k)

Anmerkung
Man kann das Ergebnis auch mit der Euler-Rückwärtsregel approximieren. Dazu setzt man
s = \frac{z-1}{T \cdot z} .
Dabei lässt sich feststellen, dass
e^{-\frac{1}{T_d} \cdot T} .
annähernd das gleiche Ergebnis liefert wie
\frac{T_d}{T_d+T} .

Beispielcode, mit Grenzfrequenz bei 3 Hz (ungetestet)

double f = 3;
double T = 1/10e+3; //10 kHz Abtastfrequenz
double faktor = exp(-2*3.14*f*T);
double y = 0;

void PT1_newvalue(double u){
	y = faktor * y + (1-faktor) * u;
}

https://de.wikipedia.org/wiki/Matched-Z-Transformation

https://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation